Решение задач «Решить 11 задач по теории вероятностей»,
теория вероятностей в Нижнем Новгороде

1. Пусть Х – непрерывная случайная величина с функцией распределения F(x) . доказать , что случайная величина Y=F(x) равномерно распределена на ( 0 ,1 ). 2. В аудитории , где 2n студентов должны сдавать экзамен по теории вероятностей , n столов . Перед экзаменом студенты договорились . кто с кем сядет за одним столом , однако экзаменатор рассадил студентов наугад . Какова вероятность того , что это привело к полному совпадению с замыслом студентов ? 3. Пусть случайная величина ? имеет плотность распределения p .Найти плотности распределения следующих величин : а) а ? +в , а ,в ,а ; б) cos ? ; в) ; г) дробной части ? . 4. Найдите математическое ожидание и дисперсию нормально распределенной случайной величины ? , если P(1< ?<7)=P(7< ? <13) =0 ,18 . 5. Пусть ? N(1 , ) . При каком значении параметра вероятность P(2< ?<4) будет наибольшей . 6. В цепи Маркова с двумя состояниями 1 и 2 начальным состоянием является 2. Найти вероятности цепочек состояний211, 222,221, если вероятности переходов (ij=1,2) задаются равенствами = ,= .Найти вероятности переходов за два шага. Найти стационарное распределение вероятностей. 7. У самолета четыре мотора. Для выполнения боевого задания ему необходимо оставаться в воздухе в течение часа. Если из-за вражеского обстрела вероятность выхода из строя одного из моторов в любой 15 – минутный период времени равна 0, 25 и для продолжения полета самолету нужны, по крайней мере ,два мотора какова вероятность того, что самолет вернется на базу? Предполагается, что вероятность того, что самолет с тремя поврежденными моторами будет оставаться в воздухе настолько долго, что может выйти из строя четвертый мотор , равна 0. 8. На стоянку такси через единичные моменты времени прибывают машины (по одной в каждый момент). Если на стоянке нет ожидающих, то машина сразу уезжает. Обозначим через число пассажиров, приходящих в момент k на стоянку, и будем считать, что - независимые случайные величины. Пусть длина очереди в момент времени k, =0. Будет ли последовательность случайных величин , марковской цепью? 9. Машина состоит из трех узлов , каждый из которых отказывает с интенсивностью Интенсивность восстановления отказавшего узла равна =3. Найти стационарное распределение числа работающих узлов. 10. В магазин самообслуживания поступает пуассоновский поток покупателей с интенсивностью 150 пок/час. Средняя продолжительность обслуживания 4,5 мин. Уровень суммарных потерь связан с простоем среднего числа свободных контролеров- кассиров и пребыванием среднего числа покупателей в очереди . Построить график зависимости суммы среднего числа свободных контролеров- кассиров и среднего числа покупателей в очереди от числа контролеров- кассиров n,(+ )=f(n). Определить по нему оптимальное число контролеров- кассиров n , при котором суммарные потери будут минимальными. (Интенсивность нагрузки системы ;вероятность простоя для одного узла расчета; вероятность образования очереди ; длина очереди ; число узлов не занятых обслуживанием ; среднее число покупателей для одного узла расчета; коэффициент занятости узла расчета ; Аналогичные расчеты для n=2 и n=3 ) . 11. Пассажир может ехать на любом из автобусов двух маршрутов. Временные интервалы между моментами появления автобусов этих маршрутов равны соответственно 5 мин. И 12 мин. Найти вероятность события А={ пассажир будет ждать от трех до 4 минут).Найти математическое ожидание первого пришедшего автобуса.